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[String] Z-algorithm Z-algorithm 또는 Z-function은 어떠한 string s의 위치 [0, l)에서 string s와의 최대 접두어를 구하는 알고리즘이다. 작동 시간은 O(n)을 자랑한다. string에서의 문자열 검색에 O(n)의 작동시간을 가지는 알고리즘이 뭐가 있었지? 바로 KMP 알고리즘이며, KMP알고리즘을 사용하기 위해 작성하는 부분일치 테이블과 기능적으로 상당히 흡사한 측면이 있다. CP - algorithm 사이트에서는 다음과 같이 기술 되어 있다. The Z-function for this string is an array of length n where the i-th element is equal to the greatest number of characters starting from t.. 더보기
[DFS] 그래프 단절점, 단절선 그래프의 단절점과 단절선이란? 단절점: 단절점이란 그 정점을 제거했을 때, 그래프가 두 개 또는 그 이상으로 나누어지는 정점을 말한다. 즉, 제거했을 때 그래프의 connected component의 개수가 증가하는 정점을 말한다. 단절선: 단절선이란 그 간선을 제거했을 때, 그래프가 두 개 또는 그 이상으로 나누어지는 간선을 말한다. 즉, 제거했을 때 그래프의 connected component의 개수가 증가하는 간선을 말한다. 그럼 어떤게 단절점과 단절선을 빠르게 구할 수 있을까? 그래프 탐색 방법은 DFS를 이용하고, 현재의 정점(노드) 또는 간선을 제거했을 때 현재 정점의 하위에서 현재 정점보다 상위 노드로 접근이 가능하냐를 기준으로 단절점/단절선을 구분하는 방법을 사용한다. (그래프는 tree구.. 더보기
[Fermat's little theorem] 페르마의 소정리 페르마의 소정리는 아래와 같이 정의 된다. (전제 조건) a와 m이 서로소여야 하며, m이 소수일 경우 am−1≡1 (mod m) 페르마의 소정리가 왜 필요할까? 보통은 modulus 연산의 나눗셈을 구하기 위한 응용으로 많이 사용된다. 다시 말하자면, 위의 수식을 아래와 같이 정리해 볼 수 있다는 말이다. am−2≡a−1 (mod m) modular 연산은 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대해서는 분배 법칙이 성립한다. (a+b) mod m=a mod m+b mod m (a−b) mod m=a mod m−b mod m $$ (a \times b) \ mod \ m.. 더보기
[오일러 Phi 함수] Euler totient function 오일러 Phi 함수 ϕ(n) 는 1부터 n까지 사이의 수 중에서 n과의 최대공약수가 1인 수의 갯수를 나타내는 함수이다. Phi 함수는 아래와 같은 성질을 만족한다. 1) 만약 p가 소수라면 ϕ(p) = p-1 를 만족한다. 2) 만약 p가 소수이고, k≥1라면 1부터 pk까지 정확히 pk/p가 p로 나누어지기 때문에 다음을 만족한다. ϕ(pk)=pk−pk−1 3) a와 b가 서로소라면 다음을 만족한다. ϕ(ab)=ϕ(a)∗ϕ(b) 이를 바탕으로 수식을 정리하면, 아래와 같다. ϕ(n) = n * (1−1p1)* (1−1p2)* $(1- \frac{1}{p_3}.. 더보기
[DP 응용] BJ_1398, 동전 문제 이 문제를 Greedy하게만 풀수 있을까? 즉 큰수로 나누어 지면 계속 빼면서 숫자를 구하면 해답일까? 직관적으로 알기 어렵다면 반례를 생각해 보면 된다. 예는 31이 되겠다. 31은 Greedy하게 풀면 25, 1, 1, 1, 1, 1, 1 로 구성되어 총 6개지만, 10, 10, 10, 1로 구성하면 4개로 구성할 수 있다. 따라서 Greedy하게만은 안된다. 그렇다면 DP로만 풀수 있을까? 값의 범위가 1015 로 매우 크기 때문에 배열을 이용해서 단순하게 확장하는 방법으로는 해법에 다가가기 어렵다. 그럼 어떻게 해야한다? 규칙성을 발견해야 한다. 규칙성을 바탕으로 문제를 단순하게 만들 수 있어야 한다. 아래의 글이 도움이 될것 같다. 생각보다 간단하게 작성할 수 있는데, 1부터 100까지.. 더보기
[수학&그래프이론] 제1회 곰곰컵 H번, 곰곰이의 심부름 문제에서 나오는 최단경로로 힌트를 얻을 수 있다. 일단 최단 경로를 구해야 한다. 최단 경로를 구하는 방법도 여러가지지만, 일단 벨만 포드로 구해볼 수도 있을 것 같은데, 벨만포드의 시간복잡도는 O(VE)이기 때문에 현 문제에서는 사용이 불가능할 것으로 보인다. 특별히 간선에 가중치도 없는 것으로 보았을 때 그냥 BFS로 진행해도 될 것 같다. 생각해야 할 부분은 최단 거리를 시작에서 목적지 까지 구하는 것이 아니라, 시작에서 심부름까지 그리고 심부름에서 목적지 까지 따로 구해야 한다는 것이다. 이걸로 한고비 넘겼고, 다음은 경로가 구해지면 어떻게 순서쌍의 갯수를 구하느냐이다. 여기서 수학의 개념이 들어가는데, 처음으로 생각해야 할 점은 이 그래프는 N개의 정점과 N-1개의 간선으로 이루어진 그래프로써,.. 더보기
[DP] BJ_24416, 알고리즘 수업 의사코드를 보고 코드로 풀어낼 수 있으냐를 체크하는 문제. 사실 피보나치 수열의 경우는 Dynamic Programming을 설명하는데 있어서 고전이라고 부를 수 있을 정도로 많이 인용되는 문제다. 한번이라도 들어 보았다면 위의 의사코드를 작성하는 부분은 크게 어렵지 않다고 생각한다. 의사코드를 구현한다. 다만, 한가지 주의해야 할 부분은 함수 호출 부분을 코드의 어디에 위치 시키느냐 인데, 동적 프로그래밍의 경우는 for 문 안에 넣어주면 되고, recursive하게 구하는 경우는 n==1 or n==2의 경우에 리턴되는 경우를 세어주면 된다. def recur(n): global cnt1 if (n ==1) or (n==2): cnt1 += 1 return 1 else: return recur(n-1.. 더보기
[Bit Mask]BJ_14939, 불 끄기 [문제의 접근] 전구 100개가 10x10 모양으로 주어지는 input, 무엇을 떠올려야 할까? 10이하로 주어지는 모양을 보아서는 뭔가 bit mask나 DFS적인 접근이 될거라는 생각이 먼저 떠올라야 한다. 또한 기초적으로 생각해야 할 것들을 적어보자. 1) XOR 연산을 떠올려야 한다. 스위치를 누르면 불이 켜져있을 때는 꺼지게 되고, 불이 꺼져 있을 때는 켜지게 된다. 이는 곧 XOR연산을 의미한다. 0을 꺼짐, 1을 켜짐으로 명명한다고 하면 0 ^ 1 = 1, 1 ^ 1 = 0 이 되니 말이다. 2) (특징) 행렬의 제일 위에서 부터 불을 끄게 된다고 한다면 현재보다 위의 행에 불이 켜져 있다면 반드시 현재 행의 스위치를 눌러야 한다. 예를 들면 위의 예제 입력에서 좌측 상단을 (0, 0)이라고.. 더보기

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